Algebraische Körpererweiterung/Transitivität/Aufgabe/Lösung

Es ist zu zeigen, dass jedes Element ${\displaystyle {}f\in M}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K}$ ist. Nach Voraussetzung ist ${\displaystyle {}f}$ algebraisch über ${\displaystyle {}L}$, d.h. es gibt ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}P\in L[X]}$ mit ${\displaystyle {}P(f)=0}$. Es seien ${\displaystyle {}a_{0},\ldots ,a_{n}\in L}$ die Koeffizienten von ${\displaystyle {}P}$. Da ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$ algebraisch ist, sind all diese Koeffizienten algebraisch über ${\displaystyle {}K}$. Wir betrachten die Kette von ${\displaystyle {}K}$-Algebren

${\displaystyle K\subseteq K[a_{0}]\subseteq K[a_{0},a_{1}]\subseteq K[a_{0},a_{1},a_{2}]\subseteq \ldots \subseteq K[a_{0},\ldots ,a_{n}]=:K'.}$

Dabei ist jeweils ${\displaystyle {}a_{i}}$ über ${\displaystyle {}K[a_{0},\ldots ,a_{i-1}]}$ algebraisch und daher handelt es sich jeweils um endliche Körpererweiterungen. Nach der Gradformel ist dann auch ${\displaystyle {}K\subseteq K'}$ endlich. Weiterhin ist ${\displaystyle {}P\in K'[X]}$, da ja nach Konstruktion die Koeffizienten von ${\displaystyle {}P}$ zu ${\displaystyle {}K'}$ gehören. Also ist ${\displaystyle {}f}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K'}$ und damit zeigt wieder die Kette ${\displaystyle {}K\subseteq K'\subseteq K'[f]}$, dass ${\displaystyle {}K'[f]}$ und erst recht ${\displaystyle {}K[f]}$ endlich über ${\displaystyle {}K}$ ist. Also ist ${\displaystyle {}f}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K}$.