Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

< Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,Q\in K[T]$ zwei Polynome. Dann gibt es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$ , ${}F\neq 0$ , mit ${}F(Q,P)=0$ . D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)$ .
Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ , ${}i\in I$ , Polynome mit
${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
Dann erzeugen die ${}F_{i}$ das Einheitsideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .
Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$ , ${}m\leq d$ , ein Polynom in homogener Zerlegung und ${}L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt ${}P$ , die keine Komponente von ${}V(F)$ sei. Dann ist
${}\operatorname {mult} _{P}(L,V(F))\geq m_{P}\,(F)=m\,,$

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