Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$ - Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$ - Spektrum von ${}R$ . Es sei ${}F\in R$ mit zugehöriger offener Menge ${}D(F)\subseteq V$ . Dann ist
${}\Gamma (D(F),{\mathcal {O}})=R_{F}\,.$
Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Elemente ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus ${}\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$ . Dann wird das Kernideal durch
$\ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,$
Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über ${}K$ und ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$ . Dann definiert der durch ${}T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen ${}K$ -Algebraautomorphismus auf ${}K[\![T]\!]$ .