Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ zwei Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Faktor. Dann gibt es nur endlich viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ mit ${}P_{i}\in V(F,G)$ .
Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}A$ und ${}B$ zwei ${}K$ -Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ ein ${}K$ -Algebrahomomorphismus. Dann ist für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ aus ${}B$ auch das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ein maximales Ideal.
Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.