Allgemeine Transformationsformel/Substitutionsregel/Bemerkung

Wenn ${\displaystyle {}M=[c,d]}$ und ${\displaystyle {}N=[a,b]}$ und

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

eine differenzierbare bijektive streng wachsende Funktion ist, so gilt für eine stetige Funktion

${\displaystyle f\colon N\longrightarrow \mathbb {R} }$

die Substitutionsregel

${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{c}^{d}f(\varphi (s))\cdot \varphi '(s)\,ds\,.}$

Um eine mit der allgemeinen Transformationsformel vergleichbare Substitutionsformel zu haben, muss man auf ${\displaystyle {}M}$ die Funktion ${\displaystyle {}g=f\circ \varphi }$ mit dem Maß ${\displaystyle {}\lambda ^{1}}$ und auf ${\displaystyle {}N}$ die Funktion ${\displaystyle {}f=(f\circ \varphi )\circ \varphi ^{-1}}$ betrachten. Die Substitutionsregel liefert dann

${\displaystyle {}\int _{c}^{d}f(\varphi (s))ds=\int _{a}^{b}f(\varphi (\varphi ^{-1}(t)))\cdot (\varphi ^{-1})'(t)dt=\int _{a}^{b}f(t){\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}}dt\,.}$

Links steht das Integral ${\displaystyle {}\int _{M}f\circ \varphi d\lambda ^{1}}$, also muss rechts das Integral ${\displaystyle {}\int _{N}fd\varphi _{*}\lambda ^{1}}$ stehen. Somit wird das Bildmaß ${\displaystyle {}\varphi _{*}\lambda ^{1}}$ durch die Dichte ${\displaystyle {}{\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}}}$ bezüglich ${\displaystyle {}\lambda ^{1}}$ gegeben. Das Bildmaß ist auch durch

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\varphi _{*}\lambda ^{1}\right)}{\left([r,s]\right)}&=\lambda ^{1}{\left(\varphi ^{-1}([r,s])\right)}\\&=\lambda ^{1}{\left([\varphi ^{-1}(r),\varphi ^{-1}(s)]\right)}\\&=\varphi ^{-1}(s)-\varphi ^{-1}(r)\\&=\int _{r}^{s}{\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(u))}}du\end{aligned}}}$

bestimmt.