Allgemeine lineare Gruppe/Endlicher Körper/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}M=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ eine invertierbare Matrix über ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$. Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine Basis von ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}^{n}}$ bilden und dies bedeutet wiederum, dass die ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{i}}$ einen ${\displaystyle {}i}$-dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein ${\displaystyle {}i}$-dimensionaler Untervektorraum besitzt ${\displaystyle {}q^{i}}$ Elemente. Wenn ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{i}}$ fixiert sind, so gibt es ${\displaystyle {}q^{n}-q^{i}}$ Vektoren ${\displaystyle {}v_{i+1}}$, die sicher stellen, dass der von den Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}}$ erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\cdots (q^{n}-q^{n-1})&=qq^{2}\cdots q^{n-1}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1)\\&=q^{\binom {n}{2}}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1).\end{aligned}}}$