Allgemeine lineare Gruppe/Natürliche Operation/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}}$ operiert in natürlicher Weise linear auf ${\displaystyle {}V}$. Die Elemente ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}}$ sind ja definiert als ${\displaystyle {}K}$-Automorphismen von ${\displaystyle {}V}$ in sich und somit ist die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),}$

wohldefiniert. Da die Verknüpfung auf ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}}$ einfach die Hintereinanderschaltung von Abbildungen ist, ergibt sich sofort

${\displaystyle {}\varphi (\psi (v))=(\varphi \circ \psi )(v)\,,}$

sodass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}V\setminus \{0\}}$, da es zu zwei von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenen Vektoren ${\displaystyle {}v_{1}}$ und ${\displaystyle {}v_{2}}$ stets einen Automorphismus gibt, der ${\displaystyle {}v_{1}}$ in ${\displaystyle {}v_{2}}$ überführt.