Allgemeine lineare Gruppe/R/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle {}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ als offene Untermannigfaltigkeit des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n^{2}}}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${\displaystyle {}G}$, also ein neutrales Element ${\displaystyle {}P\in G}$, eine differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \alpha \colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto \alpha (x),}$

und eine differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon G\times G\longrightarrow G,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),}$

derart, dass ${\displaystyle {}G}$ mit diesen Daten zu einer Gruppe wird.