Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle {}x,y\in L}$ auch ${\displaystyle {}f(x)}$ und ${\displaystyle {}f(y)}$ verschieden sind.

${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle {}\epsilon \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}\epsilon >0}$

${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {}n,m\geq n_{0}}$

${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,}$

gilt.

${\displaystyle {}\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,{\left(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T\right)}}\,}$

die Supremumsnorm von ${\displaystyle {}f}$.

${\displaystyle f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),}$

die jedem Punkt ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ die Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}x}$ zuordnet.

${\displaystyle y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),}$

auf einem Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ eine Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},}$

wenn ${\displaystyle {}y}$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$

gilt.