Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,}$

in ${\displaystyle {}K}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${\displaystyle {}I_{n+1}\subseteq I_{n}}$ für alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\displaystyle {\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },}$

gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert.

${\displaystyle {}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle {}i\longmapsto n_{i}}$

${\displaystyle i\mapsto x_{n_{i}}}$

eine Teilfolge der Folge.

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },}$

heißt komplexe Konjugation.

${\displaystyle t\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

${\displaystyle a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b}$

von ${\displaystyle {}I}$ gibt derart, dass ${\displaystyle {}t}$ auf jedem offenen Teilintervall ${\displaystyle {}]a_{i-1},a_{i}[}$ konstant ist.

${\displaystyle I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,}$

heißt die Integralfunktion zu ${\displaystyle {}f}$ zum Startpunkt ${\displaystyle {}a}$.