Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}F}$

${\displaystyle {\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.}$

${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,}$

in ${\displaystyle {}K}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${\displaystyle {}I_{n+1}\subseteq I_{n}}$ für alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\displaystyle {\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },}$

gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert.

${\displaystyle t\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

${\displaystyle a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b}$

von ${\displaystyle {}I}$ gibt derart, dass ${\displaystyle {}t}$ auf jedem offenen Teilintervall ${\displaystyle {}]a_{i-1},a_{i}[}$ konstant ist.

${\displaystyle I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,}$

heißt die Integralfunktion zu ${\displaystyle {}f}$ zum Startpunkt ${\displaystyle {}a}$.

${\displaystyle {}y'=g(t)\cdot h(y)\,}$

mit Funktionen (dabei sind ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}J}$ reelle Intervalle)

${\displaystyle g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),}$

und

${\displaystyle h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),}$

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.