Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle {}x,y\in L}$ auch ${\displaystyle {}f(x)}$ und ${\displaystyle {}f(y)}$ verschieden sind.

${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle {}\epsilon \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}\epsilon >0}$

${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {}n,m\geq n_{0}}$

${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,}$

gilt.

${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,}$

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

${\displaystyle f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),}$

die jedem Punkt ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ die Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}x}$ zuordnet.

${\displaystyle {}y'=g(t)\cdot h(y)\,}$

mit Funktionen (dabei sind ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}J}$ reelle Intervalle)

${\displaystyle g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),}$

und

${\displaystyle h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),}$

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.