Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,}$

gegeben. Dann heißt ein Element ${\displaystyle {}e\in M}$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${\displaystyle {}x\in M}$ die Gleichheit

${\displaystyle x\circ e=x=e\circ x}$

gilt.

${\displaystyle {}b\in {\mathbb {K} }}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}a}$

${\displaystyle {}\epsilon >0}$

${\displaystyle {}\delta >0}$

${\displaystyle {}x\in T}$

${\displaystyle {}\vert {x-a}\vert \leq \delta \,}$

die Abschätzung

${\displaystyle {}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,}$

folgt.

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

derart gibt, dass es zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ mit

${\displaystyle d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T}$

gibt.

${\displaystyle {}x\in D}$

${\displaystyle {}x\neq a}$

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

der Differenzenquotient von ${\displaystyle {}f}$ zu ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}x}$.

${\displaystyle y'=g(t)y}$

mit einer Funktion (${\displaystyle {}I}$ reelles Intervall)

${\displaystyle g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),}$

heißt homogene lineare Differentialgleichung.