Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/33/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,}$

die Produktmenge der Mengen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle +:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K}$

und zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle {}0,1\in K}$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in K}$ gilt: ${\displaystyle {}(a+b)+c=a+(b+c)}$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b\in K}$ gilt ${\displaystyle {}a+b=b+a}$.
   3. ${\displaystyle {}0}$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${\displaystyle {}a\in K}$ ist ${\displaystyle {}a+0=a}$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${\displaystyle {}a\in K}$ gibt es ein Element ${\displaystyle {}b\in K}$ mit ${\displaystyle {}a+b=0}$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in K}$ gilt: ${\displaystyle {}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b\in K}$ gilt ${\displaystyle {}a\cdot b=b\cdot a}$.
   3. ${\displaystyle {}1}$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${\displaystyle {}a\in K}$ ist ${\displaystyle {}a\cdot 1=a}$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${\displaystyle {}a\in K}$ mit ${\displaystyle {}a\neq 0}$ gibt es ein Element ${\displaystyle {}c\in K}$ mit ${\displaystyle {}a\cdot c=1}$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in K}$ gilt ${\displaystyle {}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$.

${\displaystyle {}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,}$

definiert.

${\displaystyle y'=g(t)y+h(t)}$

mit zwei auf einem Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ definierten Funktionen ${\displaystyle {}t\mapsto g(t)}$ und ${\displaystyle {}t\mapsto h(t)}$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.