Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/39/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}F}$

${\displaystyle {\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.}$

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle +:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K}$

und zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle {}0,1\in K}$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in K}$ gilt: ${\displaystyle {}(a+b)+c=a+(b+c)}$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b\in K}$ gilt ${\displaystyle {}a+b=b+a}$.
   3. ${\displaystyle {}0}$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${\displaystyle {}a\in K}$ ist ${\displaystyle {}a+0=a}$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${\displaystyle {}a\in K}$ gibt es ein Element ${\displaystyle {}b\in K}$ mit ${\displaystyle {}a+b=0}$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in K}$ gilt: ${\displaystyle {}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b\in K}$ gilt ${\displaystyle {}a\cdot b=b\cdot a}$.
   3. ${\displaystyle {}1}$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${\displaystyle {}a\in K}$ ist ${\displaystyle {}a\cdot 1=a}$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${\displaystyle {}a\in K}$ mit ${\displaystyle {}a\neq 0}$ gibt es ein Element ${\displaystyle {}c\in K}$ mit ${\displaystyle {}a\cdot c=1}$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in K}$ gilt ${\displaystyle {}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$.

${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,}$

in ${\displaystyle {}K}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${\displaystyle {}I_{n+1}\subseteq I_{n}}$ für alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\displaystyle {\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },}$

gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert.

${\displaystyle t\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

heißt eine obere Treppenfunktion zu ${\displaystyle {}f}$, wenn ${\displaystyle {}t(x)\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle {}x\in I}$ ist.