Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/49/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,}$

gegeben. Dann heißt ein Element ${\displaystyle {}e\in M}$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${\displaystyle {}x\in M}$ die Gleichheit

${\displaystyle x\circ e=x=e\circ x}$

gilt.

${\displaystyle {}x}$

${\displaystyle {}\epsilon \in K}$

${\displaystyle {}\epsilon >0}$

${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$

${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,}$

gilt.

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{i}\in K}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${\displaystyle {}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,}$

definiert ist.

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}x\in D}$

${\displaystyle {}\epsilon >0}$

${\displaystyle {}x'\in D}$

${\displaystyle {}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon }$

${\displaystyle {}f(x)\leq f(x')\,}$

gilt.

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

derart gibt, dass es zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ mit

${\displaystyle d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T}$

gibt.