Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle G\colon M\longrightarrow L,}$

die jedes Element ${\displaystyle {}y\in M}$ auf das eindeutig bestimmte Element ${\displaystyle {}x\in L}$ mit ${\displaystyle {}F(x)=y}$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu ${\displaystyle {}F}$.

${\displaystyle {}+\infty }$

${\displaystyle {}s\in K}$

${\displaystyle {}N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N.}$

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{i}\in K}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${\displaystyle {}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,}$

definiert ist.

${\displaystyle {}x\in T}$

${\displaystyle {\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$

in ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ konvergiert.

${\displaystyle t\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

von ${\displaystyle {}f}$ zur Unterteilung ${\displaystyle {}a_{i}}$, ${\displaystyle {}i=0,\ldots ,n}$, und den Werten ${\displaystyle {}t_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, heißt das Treppenintegral

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})}$

eine oberes Treppenintegral von ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}I}$.

${\displaystyle y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),}$

auf einem mehrpunktigen Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$, die folgende Eigenschaften erfüllt.

1. Es ist ${\displaystyle {}(t,y(t))\in U}$ für alle ${\displaystyle {}t\in I}$.
2. Die Funktion ${\displaystyle {}y}$ ist differenzierbar.
3. Es ist ${\displaystyle {}y'(t)=f(t,y(t))}$ für alle ${\displaystyle {}t\in I}$.