Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/54/Aufgabe/Lösung

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Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit
$n\geq x$
gibt.
Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$ . Ein Element ${}x\in K$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ mit ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge
${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

in ${}{\mathbb {K} }$ konvergiert.
Man nennt
${}\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,{\left(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T\right)}}\,$

die Supremumsnorm von ${}f$ .
Die Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung
${}\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$ .
Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung
$f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$

die jedem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ die Ableitung von ${}f$ an der Stelle ${}x$ zuordnet.

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