Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

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Es sei ${}I_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ . Dann besteht der Durchschnitt
$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ .
Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.
Zu ${}a\in {\mathbb {K} }$ mit ${}f'(a)\neq 0$ ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b=f(a)$ differenzierbar mit
${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

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