Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

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Es gebe eine konvergente Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ von reellen Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$ . Dann ist die Reihe
$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
absolut konvergent.
Die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ , die gegen ${}a$ konvergiert, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(a)$ konvergiert.
Es sei ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe ${}s$ . Es sei ${}J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem ${}j\in J$ sei eine Teilmenge ${}I_{j}\subseteq I$ gegeben mit ${}I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und ${}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für ${}j\neq j'$ . Dann sind die Teilfamilien ${}a_{i}$ , ${}i\in I_{j}$ , summierbar und für ihre Summen ${}s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie ${}s_{j}$ , ${}j\in J$ , summierbar ist mit
${}s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$

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