Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/49/Aufgabe/Lösung

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Die Intervalle ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ , ${}n\geq 1$ , mit den Grenzen
$a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$
definieren eine Intervallschachtelung.
Es sei ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe ${}s$ . Es sei ${}J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem ${}j\in J$ sei eine Teilmenge ${}I_{j}\subseteq I$ gegeben mit ${}I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und ${}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für ${}j\neq j'$ . Dann sind die Teilfamilien ${}a_{i}$ , ${}i\in I_{j}$ , summierbar und für ihre Summen ${}s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie ${}s_{j}$ , ${}j\in J$ , summierbar ist mit
${}s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$
Zu jedem Punkt ${}x\in I$ gibt es ein ${}c\in I$ mit
$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

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