Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/55/Aufgabe/Lösung

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Es sei ${}I_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ . Dann besteht der Durchschnitt
$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ .
Die Funktionen ${}f,g$ seien in ${}a$ differenzierbar mit ${}g(a)\neq 0$ . Dann ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit
${}\left({\frac {f}{g}}\right)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$
Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion, seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und ${}t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$ . Dann ist
${}f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$

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