Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}c\in [a,b]}$

${\displaystyle {}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.}$

${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}P\in G}$ und es sei ${\displaystyle {}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))}$ die Faser durch ${\displaystyle {}P}$. Das totale Differential ${\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{P}}$ sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge ${\displaystyle {}P\in W}$, ${\displaystyle {}W\subseteq G}$, eine offene Menge ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow W}$

derart, dass ${\displaystyle {}\psi (V)\subseteq Z\cap W}$ ist und ${\displaystyle {}\psi }$ eine Bijektion

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow Z\cap W}$