Analytische Fortsetzung/Holomorphe Funktion/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X}$ ein stetiger Weg mit ${\displaystyle {}\gamma (0)=Q}$ und ${\displaystyle {}\gamma (1)=P}$ und sei ${\displaystyle {}g}$ ein Keim in ${\displaystyle {}P}$, der durch analytische Fortsetzung längs ${\displaystyle {}\gamma }$ aus ${\displaystyle {}f_{Q}}$ entsteht. Dann gibt es eine Unterteilung ${\displaystyle {}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1}$, zusammenhängende offene Mengen ${\displaystyle {}U_{i}\subseteq X}$ mit ${\displaystyle {}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}}$ und holomorphe Funktionen ${\displaystyle {}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$ derart, dass ${\displaystyle {}f_{1}=f_{Q}}$, ${\displaystyle {}f_{n}=g}$ und ${\displaystyle {}f_{i}}$ und ${\displaystyle {}f_{i+1}}$ in einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}\gamma (t_{i})}$ übereinstimmen. Wir zeigen durch Induktion nach ${\displaystyle {}i}$, dass ${\displaystyle {}f_{i}}$ mit ${\displaystyle {}f{|}_{U_{i}}}$ übereinstimmt. Aufgrund des Zusammenhangs und des Identitätssatzes genügt es, die Übereinstimmung im Halm eines Punktes nachzuweisen. Daher ergibt sich der Induktionsschritt direkt aus der Bedingung

${\displaystyle {}f_{i+1,\gamma (t_{i})}=f_{i,\gamma (t_{i})}=f_{\gamma (t_{i})}\,,}$