Analytische Funktionen/Reelle Logarithmen/Merkblatt

Zu einer positiven reellen Zahl ${\displaystyle {}a>0}$ ist der Logarithmus zur Basis ${\displaystyle {}a}$, geschrieben ${\displaystyle {}\log _{a}}$, die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ${\displaystyle {}x\mapsto a^{x}}$ zur Basis ${\displaystyle {}a}$. Die Exponentialfunktion stiftet eine Bijektion ${\displaystyle {}\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$und daher ist

${\displaystyle \log _{a}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto \log _{a}(y),}$

eine Bijektion. Es gilt also nach Definition

${\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x\,\,{\text{ und }}\,\,a^{\log _{a}(y)}=y.}$

Ferner gelten

${\displaystyle \log _{a}(y\cdot z)=\log _{a}(y)+\log _{a}(z)\,\,{\text{ und }}\,\,\log _{a}(y^{u})=u\log _{a}(y)}$

für ${\displaystyle {}u\in \mathbb {R} }$.

Der Logarithmus mit der Eulerschen Zahl ${\displaystyle {}e}$ als Basis wird natürlicher Logarithmus genannt und mit ${\displaystyle {}\ln x}$ bezeichnet. Zu verschiedenen Basen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ gilt die Beziehung

${\displaystyle {}\log _{a}(y)=\log _{a}(b^{\log _{b}(y)})=\log _{b}(y)\log _{a}(b)\,,}$

sodass sich also die verschiedenen Logarithmen nur um einen festen Faktor unterscheiden. Die Logarithmen sind stetig differenzierbar mit Ableitung

${\displaystyle \ln '(y)={\frac {1}{y}}\,\,{\text{ und }}\,\,\log _{a}'(y)={\frac {1}{\ln(a)\cdot y}}.}$

Für weitere Informationen siehe auch Logarithmus.