Anfangswertproblem/Getrennte Variablen/1 durch t^2y^3/Aufgabe/Lösung

Es liegen getrennte Variablen mit ${\displaystyle {}g(t)={\frac {1}{t^{2}}}}$ und ${\displaystyle {}h(y)={\frac {1}{y^{3}}}}$ vor. Die Stammfunktionen von ${\displaystyle {}{\frac {1}{t^{2}}}}$ sind ${\displaystyle {}-t^{-1}+c}$ mit ${\displaystyle {}c\in \mathbb {R} }$ und eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}y^{3}}$ ist ${\displaystyle {}{\frac {1}{4}}y^{4}}$. Diese ist für positive ${\displaystyle {}y}$ bijektiv, die Umkehrfunktion ergibt sich aus

${\displaystyle {}z={\frac {1}{4}}y^{4}\,}$

zu

${\displaystyle {}y={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt[{4}]{z}}\,.}$

Die Lösungen haben also die Form

${\displaystyle {}y(t)={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt[{4}]{-t^{-1}+c}}\,.}$

Die Anfangsbedingung führt auf

${\displaystyle {}y(1)={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt[{4}]{-1+c}}=4\,,}$

also

${\displaystyle {}{\sqrt[{4}]{-1+c}}=2{\sqrt {2}}\,}$

und somit

${\displaystyle {}-1+c=64\,,}$

also

${\displaystyle {}c=65\,.}$

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also

${\displaystyle {}y(t)={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt[{4}]{-t^{-1}+65}}\,.}$