Arithmetisch repräsentierbar/Abbildung und Faser/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung gibt es einen ${\displaystyle {}L^{\rm {Ar}}}$-Ausdruck ${\displaystyle {}\psi }$ in ${\displaystyle {}r+s}$ freien Variablen ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s}}$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}(r+s)}$-Tupel ${\displaystyle {}(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}}$ die Äquivalenz ${\displaystyle {}F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})}$ gilt. Es sei

${\displaystyle {}P=(p_{1},\ldots ,p_{s})\in \mathbb {N} ^{s}\,}$

ein Punkt. Dabei gilt insbesondere für beliebige ${\displaystyle {}(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}}$ die Gleichheit ${\displaystyle {}F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(p_{1},\ldots ,p_{s})}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r},p_{1},\ldots ,p_{s})}$ gilt. Diese Gleichung bedeutet, dass ${\displaystyle {}(n_{1},\ldots ,n_{r})}$ zur Faser über ${\displaystyle {}P}$ gehört. Daher ist der Ausdruck

${\displaystyle {}\varphi :=\psi (x_{1},\ldots ,x_{r},p_{1},\ldots ,p_{s})\,}$

${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{r}}$

${\displaystyle {}P}$