Auflösbare Gruppe/Kurze exakte Sequenz/Kriterium/Fakt/Beweis

Es sei zunächst ${\displaystyle {}G}$ auflösbar. Nach Fakt ist ${\displaystyle {}N\subseteq G}$ auflösbar.
Betrachten wir also die Restklassengruppe ${\displaystyle {}H=G/N}$ und fixieren wir eine auflösende Filtrierung

${\displaystyle {}\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,.}$

Es sei

${\displaystyle q\colon G\longrightarrow H}$

der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen ${\displaystyle {}H_{i}=q(G_{i})}$, dies ist eine Filtrierung von ${\displaystyle {}H}$ mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H_{i+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}}$

wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}H_{i}}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}H_{i+1}}$ ist, und ziehen dazu Fakt heran. Es sei also ${\displaystyle {}h\in H_{i}}$ und ${\displaystyle {}x\in H_{i+1}}$, die wir durch ${\displaystyle {}{\tilde {h}}\in G_{i}}$ bzw. ${\displaystyle {}{\tilde {x}}\in G_{i+1}}$ repräsentieren. Dann ist ${\displaystyle {}xhx^{-1}=q{\left({\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\right)}}$ und wegen der Normalität von ${\displaystyle {}G_{i}}$ in ${\displaystyle {}G_{i+1}}$ ist ${\displaystyle {}{\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\in G_{i}}$ und somit ${\displaystyle {}xhx^{-1}\in H_{i}}$. Wir betrachten die zusammengesetzte surjektive Abbildung

${\displaystyle G_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i}.}$

Da ${\displaystyle {}G_{i}}$ zum Kern dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von Fakt eine surjektive Abbildung

${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i},}$

weshalb ${\displaystyle {}H_{i+1}/H_{i}}$ ebenfalls kommutativ ist.

Es seien nun ${\displaystyle {}N}$ und ${\displaystyle {}H=G/N}$ auflösbar, sei ${\displaystyle {}q\colon G\rightarrow G/N}$ der Restklassenhomomorphismus und seien

${\displaystyle {}\{e\}=N_{0}\subseteq N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \ldots \subseteq N_{k-1}\subseteq N_{k}=N\,}$

und

${\displaystyle {}\{e\}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \ldots \subseteq H_{\ell -1}\subseteq H_{\ell }=H\,}$

auflösende Filtrierungen. Wir ergänzen die Filtrierung von ${\displaystyle {}N}$ durch die Urbilder ${\displaystyle {}G_{j}=q^{-1}(H_{j})}$ zu einer Filtrierung von ${\displaystyle {}G}$. Die surjektive Abbildung

${\displaystyle G_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}/H_{j}}$

besitzt den Kern ${\displaystyle {}G_{j}}$ und zeigt, dass ${\displaystyle {}G_{j}}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}G_{j+1}}$ mit kommutativer Restklassengruppe ist.