Ausdrucksmenge/Endlich/Widersprüchlich/Teilmengen nicht/Aufgabe/Lösung

Bei ${\displaystyle {}n=1}$ kann man für ${\displaystyle {}\alpha }$ jede widersprüchliche Aussage, beispielsweise ${\displaystyle {}p\wedge \neg p}$ nehmen. Es sei also ${\displaystyle {}n\geq 2}$. Es seien ${\displaystyle {}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n-1}}$ (verschiedene) Aussagenvariablen. Wir setzen

${\displaystyle {}\alpha _{1}=p_{1}\,,}$

${\displaystyle {}\alpha _{i}=p_{i-1}\rightarrow p_{i}\,}$

für ${\displaystyle {}2\leq i\leq n-1}$ und

${\displaystyle {}\alpha _{n}=p_{n-1}\rightarrow \neg p_{1}\,.}$

Die Menge ${\displaystyle {}\Gamma }$ ist widersprüchlich, da man aus ${\displaystyle {}\Gamma }$ durch mehrfache Anwendung der Kettenschlussregel und des Modus ponens

${\displaystyle \Gamma \vdash \neg p_{1}}$

erhält, was ein Widerspruch zu ${\displaystyle {}p_{1}\in \Gamma }$ ist. Es sei nun

${\displaystyle {}\Delta =\Gamma _{i}\setminus \{\alpha _{i}\}\,.}$

Wir müssen zeigen, dass ${\displaystyle {}\Delta _{i}}$ widerspruchsfrei ist, wofür es genügt, eine erfüllende Wahrheitsbelegung anzugeben. Es sei ${\displaystyle {}i}$ fixiert. Dann erfüllt die Wahrheitsbelegung, bei der jede Variable ${\displaystyle {}p_{j}}$ mit ${\displaystyle {}j\leq i}$ als wahr und jede Variable ${\displaystyle {}p_{j}}$ mit ${\displaystyle {}j>i}$ als falsch belegt wird, die Menge ${\displaystyle {}\Delta _{i}}$, da für die ${\displaystyle {}\alpha _{j}}$ mit ${\displaystyle {}j<i}$ Vorder-und Nachsatz wahr belegt sind und da für die ${\displaystyle {}\alpha _{j}}$ mit ${\displaystyle {}j>i}$