Ausschöpfung/Grundraum und wachsende Funktion/Subgraphausschöpfung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein Messraum mit einer Ausschöpfung ${\displaystyle {}M_{n}\uparrow M}$ und sei

${\displaystyle f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren Funktionen mit der Grenzfunktion

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}S^{o}(M_{n};f_{n})}$ eine Ausschöpfung von ${\displaystyle {}S^{o}(M;f)}$ ist.