Basiswechsel/Übergangsmatrix/Teilsummen/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${\displaystyle {}v_{2}=w_{2}-w_{1}\,}$

und

${\displaystyle {}v_{3}=w_{3}-w_{2}+w_{1}\,.}$

Daher ist ${\displaystyle {}w_{1},w_{2},w_{3}}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V}$ und somit eine Basis, da die Dimension ${\displaystyle {}3}$ ist.

b) In den Spalten von ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}}$ müssen die Koordinaten der Vektoren ${\displaystyle {}w_{j}}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle {}v_{i}}$ stehen, also ist

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

c) Nach a) ist

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

d) Die Koordinaten ergeben sich aus

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12\\-1\\-9\end{pmatrix}}\,.}$

e) Die Koordinaten ergeben sich aus

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}15\\-12\\5\end{pmatrix}}\,.}$