Basiswechsel/Streckungen/Übergangsmatrix/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${\displaystyle {}v_{i}=a_{i}^{-1}w_{i}\,}$

für alle ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$. Daher ist ${\displaystyle {}w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V}$ und somit eine Basis, da die Dimension ${\displaystyle {}n}$ ist und ${\displaystyle {}n}$ Vektoren vorliegen.

b) In den Spalten von ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}}$ müssen die Koordinaten der Vektoren ${\displaystyle {}w_{j}}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle {}v_{i}}$ stehen, also ist

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}={\begin{pmatrix}a_{1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

c) Es ist

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{-1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}^{-1}\end{pmatrix}}\,.}$

d) Die Koordinaten ergeben sich aus

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\2a_{2}\\\vdots \\na_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

e) Die Koordinaten ergeben sich aus

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{-1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{-1}\\2a^{-1}\\\vdots \\2^{n}a_{n}^{-1}\end{pmatrix}}\,.}$