Beschränkte Funktion/Nicht Riemann integrierbar/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es sei

${\displaystyle f(x):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} ,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}}$

Da es in jedem Intervall positiver Länge sowohl rationale als auch irrationale Zahlen gibt, besitzt eine untere Treppenfunktion zu ${\displaystyle {}f}$ maximal den Wert ${\displaystyle {}0}$ und eine obere Treppenfunktion zu ${\displaystyle {}f}$ besitzt minimal den Wert ${\displaystyle {}1}$. Daher ist das Unterintegral gleich ${\displaystyle {}0}$ und das Oberintegral gleich ${\displaystyle {}1}$. Daher existiert das bestimmte Integral nicht.