Bilinearform/Basis/Dualbasis/Gramsche Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei

${\displaystyle {}M=(c_{ij})_{ij}\,}$

die beschreibende Matrix von ${\displaystyle {}\Psi }$ bezüglich der gegebenen Basen. In der ${\displaystyle {}j}$-ten Spalte stehen die Koordinaten von ${\displaystyle {}\Psi (v_{j})}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle {}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}}$, also ist

${\displaystyle {}\Psi (v_{j})=\sum _{k=1}^{n}c_{kj}v_{k}^{*}\,.}$

Wenn wir diese Gleichung auf ${\displaystyle {}c_{i}}$ anwenden, erhalten wir

${\displaystyle {}\left\langle v_{j},v_{i}\right\rangle =(\Psi (v_{j}))(v_{i})={\left(\sum _{k=1}^{n}c_{kj}v_{k}^{*}\right)}(v_{i})=c_{ij}\,.}$

${\displaystyle {}c_{ij}}$

${\displaystyle {}G_{ji}}$