Binäre Diedergruppe/Wirkung auf Geraden/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}\zeta \in {\mathbb {C} }}$ eine ${\displaystyle {}2n}$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die binäre Diedergruppe ${\displaystyle {}BD_{n}}$ auf der Geradenmenge

${\displaystyle {\left\{\langle {\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\rangle \mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\cup \{\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle ,\,\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle \}}$

operiert.