Binomiale Gleichung/Singulärer Punkt/Fakt/Beweis

Zunächst ist ${\displaystyle {}0}$ ein Punkt der durch das binomiale Polynom gegebenen Nullstellenmenge. Aufgrund der Voraussetzungen können wir das Polynom als ${\displaystyle {}P=FX-GY}$ mit verschiedenen Variablen ${\displaystyle {}X,Y}$ und Monomen ${\displaystyle {}F,G}$ schreiben, die keine Einheiten sind (in den ${\displaystyle {}X}$ bzw. ${\displaystyle {}Y}$ vorkommen kann). Die partiellen Ableitungen sind

${\displaystyle {}\partial _{X}(P)=X\partial _{X}(F)+F-Y\partial _{X}(G)\,,}$

${\displaystyle {}\partial _{Y}(P)=X\partial _{Y}(F)-Y\partial _{Y}(G)-G\,}$

und

${\displaystyle {}\partial _{Z}(P)=X\partial _{Z}(F)-Y\partial _{Z}(G)\,}$

(für jede weitere Variable ${\displaystyle {}Z}$), die alle im Nullpunkt verschwinden.