Binomialkomplex/Aufsteigend/Homotopie/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}0}$ das kleinste Element von ${\displaystyle {}I}$. Wir definieren einen Komplex-Homomorphismus

${\displaystyle h\colon F_{n}\longrightarrow F_{n-1}}$

durch

${\displaystyle {}h(e_{J}):={\begin{cases}e_{J\setminus \{0\}},\,{\text{ falls }}0\in J\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,}$

Wir behaupten

${\displaystyle {}\delta \circ h+h\circ \delta =\operatorname {Id} \,.}$

Es sei dazu ${\displaystyle {}e_{K}}$ gegeben. Bei ${\displaystyle {}0\notin K}$ ist

${\displaystyle {}\delta (h(e_{K}))=0\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\operatorname {ord} {\left(0,K\cup \{0\}\right)}e_{K}\end{aligned}}}$

und bei ${\displaystyle {}0\in K}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\delta {\left(h(e_{K})\right)}&=\delta {\left(e_{K\setminus \{0\}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus (K\setminus \{0\})}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+\operatorname {ord} {\left(0,K\right)}e_{K}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+e_{K}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}\setminus \{0\}}.\end{aligned}}}$

Da ${\displaystyle {}0}$ das Anfangsglied ist, unterscheiden sich ${\displaystyle {}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}}$ um das Vorzeichen.

Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der Homologieabbildungen

${\displaystyle {}0=H(0)=H(\operatorname {Id} )=\operatorname {Id} \,}$

und daher sind die Homologien trivial.