Binomialkomplex/Z/Aufsteigend/Definition

Es sei ${\displaystyle {}I}$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf ${\displaystyle {}F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}}$ zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ definieren wir Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle {}\delta \colon F_{n}\rightarrow F_{n+1}}$ durch

${\displaystyle {}{\left(\delta {\left(\alpha \right)}\right)}_{J}:=\sum _{j\in J}\operatorname {ord} {\left(j,J\right)}\alpha _{J\setminus \{j\}}\,}$

für ${\displaystyle {}n+1}$-elementiges ${\displaystyle {}J}$ und nennen ${\displaystyle {}{\left(F_{\bullet },\delta \right)}}$ den aufsteigenden Binomialkomplex.