Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Durchlauf/Fakt

Es sei

${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und ${\displaystyle {}t_{0}\in I}$ mit

${\displaystyle {}\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})\neq 0\,}$

mit dem Krümmungskreis ${\displaystyle {}K}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}M}$ und Radius ${\displaystyle {}r}$. Wenn ${\displaystyle {}\gamma '(t_{0}),\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})}$ die Standardorientierung repräsentiert, so sei ${\displaystyle {}\alpha \in [0,2\pi [}$ derart, dass

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}\gamma '(t_{0}),\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})}$ nicht die Standardorientierung repräsentiert, so sei ${\displaystyle {}\alpha \in [0,2\pi [}$ derart, dass

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\-\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\,.}$

Dann ist (im standardorientierten Fall)

eine bogenparametrisierte Bewegung auf dem Krümmungskreis, die in ${\displaystyle {}t_{0}}$ mit ${\displaystyle {}\gamma }$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.