Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}A}$ die Menge der Atome von ${\displaystyle {}B}$. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle B\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(A),\,x\longmapsto {\left\{a\in A\mid a\preccurlyeq x\right\}}.}$

Es ergibt sich aus Fakt, dass dies eine Bijektion ist. Dass ${\displaystyle {}0}$ auf die leere Menge und ${\displaystyle {}1}$ auf die Gesamtmenge geht, ist klar. Wegen der Eindeutigkeit der atomaren Darstellung führt diese Abbildung die ${\displaystyle {}\sqcup }$-Verknüpfung in die Vereinigung über. Es sei

${\displaystyle {}x=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\,}$

und

${\displaystyle {}y=b_{1}\sqcup \ldots \sqcup b_{m}\,.}$

Dann ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz und Fakt  (2)

${\displaystyle {}x\sqcap y=(a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n})\sqcap (b_{1}\sqcup \ldots \sqcup b_{m})=\bigsqcup _{i,j}a_{i}\sqcap b_{j}=\bigsqcup c\,,}$

wobei ${\displaystyle {}c}$ durch alle Atome läuft, die sowohl links als auch rechts vorkommen. Daher führt die Abbildung diese ${\displaystyle {}\sqcap }$-Verknüpfung in den Durchschnitt über.