Cauchy-Folge/Keine Nullfolge/Positiv oder negativ/Aufgabe/Lösung

Da ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ keine Nullfolge ist, gibt es ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ derart, dass es zu jedem ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ ein ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ mit ${\displaystyle {}\vert {x_{n}}\vert >\epsilon }$ gibt. Da es sich um eine Cauchy-Folge handelt, gibt es zu ${\displaystyle {}\epsilon /2}$ ein ${\displaystyle {}k}$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}m,n\geq k}$ die Abschätzung ${\displaystyle {}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon /2}$ gilt. Es sei nun ${\displaystyle {}n\geq k}$ so gewählt, dass ${\displaystyle {}\vert {x_{n}}\vert >\epsilon }$ ist.

Bei ${\displaystyle {}x_{n}>0}$ gilt für alle ${\displaystyle {}m\geq n}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\geq x_{n}-{\frac {\epsilon }{2}}\\&\geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{2}}\\&={\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}}$

sodass für ${\displaystyle {}m\geq n}$ alle Folgenglieder positiv sind.

Bei ${\displaystyle {}x_{n}<0}$ gilt für alle ${\displaystyle {}m\geq n}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\leq x_{n}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&\leq -\epsilon +{\frac {\epsilon }{2}}\\&=-{\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}m\geq n}$