Cauchy-Folge/Teilfolge/Schnelle Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass es eine Teilfolge ${\displaystyle {}x_{n_{i}}}$, ${\displaystyle {}i\in \mathbb {N} }$, derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$ gilt für alle ${\displaystyle {}i,j\geq k}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\vert {x_{n_{i}}-x_{n_{j}}}\vert \leq {\frac {1}{k}}\,.}$