Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

In der folgenden Lerneinheit wird zunächst eine Identifikation der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mit dem zweidimensionalen ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ vorgenommen und die klassischen reellen partiellen Ableitungen und die Jacobi-Matrix betrachtet und eine Beziehung zwischen komplexer Differenzierbarkeit und partiellen Ableitung von Komponentenfunktionen einer Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ betrachtet. Danach werden die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen mit den Vorüberlegungen bewiesen.

Sei ${\displaystyle R:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\ x+iy\mapsto R(x+iy)={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$. Da die Abbildung ${\displaystyle R}$ bijektiv ist, kann man mit der Umkehrabbildung

${\displaystyle R^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {C} ,\ {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto R^{-1}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=x+iy}$

Vektoren aus dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ eineindeutig wieder eine komplexen Zahl zuordnen.

Zerlegt man nun eine Funktion ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right)+i\,v\left(x,y\right)}$ in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen ${\displaystyle u:U_{R}\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle v:U_{R}\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle U_{R}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ und ${\displaystyle U=\{x+iy\in \mathbb {C} \ |\ (x,y)\in U_{R}\}}$, so hat die totale Ableitung der Funktion ${\displaystyle f_{R}:U_{R}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},(x,y)\mapsto {\begin{pmatrix}u\left(x,y\right)\\v\left(x,y\right)\end{pmatrix}}}$ als Darstellungsmatrix die Jacobi-Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.}$

Geben Sie für die komplexwertige Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,\ z\mapsto f(z)=z^{3}}$ die Abbildungen ${\displaystyle u,v}$ mit ${\displaystyle f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right)+i\,v\left(x,y\right)}$ konkret an.

Dabei liefert die Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt ${\displaystyle (x_{o},y_{o})\in \mathbb {R} ^{2}}$ die totale Ableitung in dem Punkt ${\displaystyle x_{o}+iy_{o}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})&{\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})\\{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})&{\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})\end{pmatrix}}}$

Eine Funktion ${\displaystyle f}$ ist in ${\displaystyle z_{o}:=x_{o}+iy_{o}}$ genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für ${\displaystyle u,v}$ mit ${\displaystyle u:U_{R}\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle v:U_{R}\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle U_{R}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})={\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})}$

erfüllt sind.

In dem folgenden Erläuterungen wird die Definition der Differenzierbarkeit in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ auf Eigenschaften der partiellen Ableitungen in der Jacobimatrix zurückgeführt.

Wenn der folgende Limes für ${\displaystyle f:G\rightarrow \mathbb {C} }$ für ${\displaystyle z_{o}\in G}$ mit ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ offen existiert

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{z\rightarrow z_{o}}{\frac {f(z)-f(z_{o})}{z-z_{o}}}}$,

bedeutet ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{o}}...}$, dass für beliebige Folgen ${\displaystyle (z_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ Definitionsbereich ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z_{o}}$ auch

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(z_{n})-f(z_{o})}{z_{n}-z_{o}}}}$

erfüllt ist.

Man betrachtet nun von diesen beliebigen Folgen nur die Folgen für die beiden folgenden Grenzwertprozessen mit ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+h)-f(z_{o})}{(z_{o}+h)-z_{o}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+h)-f(z_{o})}{h}}}$,

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{ih\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+ih)-f(z_{o})}{(z_{o}+ih)-z_{o}}}=\lim _{ih\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+ih)-f(z_{o})}{ih}}}$,

Durch Einsetzen der Komponentenfunktionen für den Realteil und Imaginärteil ${\displaystyle u,v}$ ergibt sich mit ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+h)-f(z_{o})}{h}}=}$

${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {u(x_{o}+h,y_{o})-u(x_{o},y_{o})}{h}}+i\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {v(x_{o}+h,y_{o})-v(x_{o},y_{o})}{h}}}$

${\displaystyle ={\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})+i{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})}$

Bei der Anwendung auf die zweite Gleichung erhält man mit ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{ih\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+ih)-f(z_{o})}{ih}}}$

${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {u(x_{o},y_{o}+h)-u(x_{o},y_{o})}{ih}}+i\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {v(x_{o},y_{o}+h)-v(x_{o},y_{o})}{ih}}}$

${\displaystyle =-i\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {u(x_{o},y_{o}+h)-u(x_{o},y_{o})}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {v(x_{o},y_{o}+h)-v(x_{o},y_{o})}{h}}}$,

${\displaystyle =-i{\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})+{\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})}$

Im ersten Summanden wird der Bruch mit ${\displaystyle i}$ erweitert und im zweiten Summanden wird das ${\displaystyle i}$ gekürzt, damit der Nenner reellwertig wird und ${\displaystyle h}$ entspricht.

Durch Gleichsetzung der Terme von (3) und (4) und Vergleich von Realteil und Imaginärteil erhält man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

• Realteil: ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})={\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})}$
• Imaginärteil: ${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})}$

Die partiellen Ableitungen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dargestellt werden mit ${\displaystyle f:={\mathfrak {Re}}(f)+i{\mathfrak {Im}}(f)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(f):\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(f):\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+h)-f(z_{o})}{h}}\in \mathbb {C} }$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Re}}(f)}{\partial x}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\mathfrak {Re}}(f)(z_{o}+h)-{\mathfrak {Re}}(f)(z_{o})}{h}}\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Im}}(f)}{\partial x}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\mathfrak {Im}}(f)(z_{o}+h)-{\mathfrak {Im}}(f)(z_{o})}{h}}\in \mathbb {R} }$,

Die partiellen Ableitungen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dargestellt werden mit ${\displaystyle f:={\mathfrak {Re}}(f)+i{\mathfrak {Im}}(f)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(f):\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(f):\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+ih)-f(z_{o})}{h}}\in \mathbb {C} }$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Re}}(f)}{\partial y}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\mathfrak {Re}}(f)(z_{o}+ih)-{\mathfrak {Re}}(f)(z_{o})}{h}}\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Im}}(f)}{\partial y}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\mathfrak {Im}}(f)(z_{o}+ih)-{\mathfrak {Im}}(f)(z_{o})}{h}}\in \mathbb {R} }$.

Die partiellen Ableitungen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dargestellt werden mit ${\displaystyle f:=f_{x}+if_{y}}$, ${\displaystyle f_{x}:={\mathfrak {Re}}(f)}$, ${\displaystyle f_{y}:={\mathfrak {Im}}(f)}$:

• Realteil: ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Re}}(f)}{\partial x}}(z_{o})={\frac {\partial {\mathfrak {Im}}(f)}{\partial y}}(z_{o})}$
• Imaginärteil: ${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Re}}(f)}{\partial y}}(z_{o})=-{\frac {\partial {\mathfrak {Im}}(f)}{\partial x}}(z_{o})}$

Sei ${\textstyle G\subseteq \mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Die Funktion ${\textstyle f=u+iv}$ komplex differenzierbar in einem Punkt ${\textstyle z=x+iy\in G}$. Dann existieren die partiellen Ableitungen von ${\textstyle u}$ und ${\textstyle v}$ in dem ${\textstyle \left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}}$ und die folgenden Cauchy-Riemannschen-Diffentialgleichungen gelten: $${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}\left(x,y\right)={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\left(x,y\right)}$$

$${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial y}}\left(x,y\right)=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\left(x,y\right)}$$

In diesem Fall kann die Ableitung von ${\textstyle f}$ in dem Punkt ${\textstyle z\in \mathbb {C} }$ auf zwei Arten durch die Komponentenfunktionen ${\textstyle u}$ und ${\textstyle v}$ dargestellt werden. $${\displaystyle f'\left(z\right)={\dfrac {\partial u}{\partial x}}\left(x,y\right)-i{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\left(x,y\right)={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\left(x,y\right)+i{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\left(x,y\right)}$$ Im Beweis der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung wird der Real- und Imaginärteilvergleich verwendet, um die obigen beiden Gleichungen zu erhalten.

In dem Beweis werden zwei Richtungsableitungen betrachtet:

• (DG1) die Ableitung in Richtung des Realteiles und
• (DG2) die Ableitung in Richtung des Imaginärteiles.

Da diese bei komplexer Differenzierbarkeit überstimmen, erhält man über Gleichsetzung und Vergleich von Real- und Imaginärteil die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

In dem ersten Beweisteil lässt man ${\displaystyle h\in \mathbb {C} }$ in Richtung des Realteiles gegen 0 konvergieren. Dazu wählt man ${\textstyle h:=h_{1}+i\cdot 0}$ mit ${\textstyle h_{1}\in \mathbb {R} }$. Die Zerlegung der Funktion ${\textstyle f=u+iv}$ in die Realteilfunktion ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ liefert dann (DG1).

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f'\left(z\right)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}\\&=&\lim \limits _{h_{1}\to 0}{\dfrac {u\left(x+h_{1},y\right)+iv\left(x+h_{1},y\right)-u\left(x,y\right)-iv\left(x,y\right)}{h_{1}}}\\&=&\lim \limits _{h_{1}\to 0}{\dfrac {u\left(x+h_{1},y\right)-u\left(x,y\right)}{h_{1}}}+i{\dfrac {v\left(x+h_{1},y\right)-v\left(x,y\right)}{h_{1}}}\\&=&{\dfrac {\partial u}{\partial x}}\left(x,y\right)+i{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\left(x,y\right)\end{array}}}$$

Analog kann man die partielle Ableitung für den Imaginärteil betrachten ${\textstyle h:=0+i\cdot h_{2}}$ mit ${\textstyle h_{2}\in \mathbb {R} }$. Dann erhält man die Gleichung (DG2)

${\textstyle {\begin{array}{rcl}f'\left(z\right)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}\\&=&\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {u\left(x,y+h_{2}\right)+iv\left(x,y+h_{2}\right)-u\left(x,y\right)-iv\left(x,y\right)}{i\cdot h_{2}}}\\&=&\lim \limits _{l\to 0}{\dfrac {1}{i}}{\dfrac {u\left(x,y+h_{2}\right)-u\left(x,y\right)}{h_{2}}}+{\dfrac {v\left(x,y+h_{2}\right)-v\left(x,y\right)}{h_{2}}}\\&=&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\left(x,y\right)-i{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\left(x,y\right)\end{array}}}$

Über die Gleichsetzung der beiden Ableitungen kann auch den Realteil und Imaginärteil der beiden Ableitungen (DG1) und (DG2) vergleichen: $${\displaystyle f'\left(z\right)={\dfrac {\partial u}{\partial x}}\left(x,y\right)+i{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\left(x,y\right)={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\left(x,y\right)-i{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\left(x,y\right)}$$

Zwei komplexe Zahlen stimmen genau dann überein, wenn der Real- und Imaginärteile beider komplexen Zahlen übereinstimmen. Damit erhält man die Cauchy-Riemann-Diffentialgleichungen. Die beiden Darstellungsformel folgt aus der obigen Zeile und den Cauchy-Riemann-Gleichungen.

• Kurs:Funktionentheorie
• Wirtinger Ableitungen bzw. Wirtinger Kalkül
• Maximumprinzip
• Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion

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