Cauchy-Verteilung

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Diese Lernressource zum Thema Cauchy-Verteilung hat das Ziel, eine stetige Verteilung kennen zu lernen,

• die die Form einer Glockenkurve (wie die Normalverteilung) besitzt,
• die Dichtefunktion eine Stammfunktion besitzt,
• aber der Erwartungswert und Varianz nicht existieren.

Die Cauchy-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine stetige, leptokurtische (supergaußförmige) Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Anschaulich gesprochen beschreibt sie die tangentiale Auslenkung eines Pendels. Hat das Pendel die Länge ${\displaystyle s}$, Ruheposition ${\displaystyle t}$ und einen über dem Intervall ${\displaystyle (-90{\text{°}},90{\text{°}})}$ gleichverteilten Auslenkungswinkel ${\displaystyle U}$, so ist die Position ${\displaystyle X=s\tan(U)+t}$ Cauchy-verteilt mit den Parametern ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle t}$.^[1]

Die Cauchy-Verteilung tritt außerdem als die Verteilung einer Zufallsvariable ${\displaystyle Z=A/B}$ auf, die das Verhältnis zweier unabhängiger zentrierter normalverteilter Zufallsvariablen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ist.

Ferner ist sie in der Physik für eine genäherte Beschreibung von Resonanz von Bedeutung. Sie wird dort Resonanzkurve oder Lorentzkurve (nach Hendrik Antoon Lorentz) genannt. Daher gibt es auch die Bezeichnungen Lorentz-Verteilung und Cauchy-Lorentz-Verteilung.

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Cauchy-Verteilung wird gezeigt, dass das Integral über eine Teilmenge von ${\displaystyle [1,+\infty )\subset \mathbb {R} }$ bereits keine endlichen Wert besitzt.

Begründen Sie, warum die harmonische Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ divergent ist!

Im Folgenden betrachtet man die Definition des Erwartungswertes für die Cauchy-Verteilung $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}E(X)&=&\int _{-\infty }^{+\infty }x\cdot \underbrace {f(x)} _{\geq 0}\,dx\\&=&\int _{-\infty }^{0}x\cdot \underbrace {f(x)} _{\geq 0}\,dx+\int _{0}^{+\infty }x\cdot \underbrace {f(x)} _{\geq 0}\,dx\\\end{array}}}$$

Nun betrachtet man die Abschätzung mit den Konstanten ${\displaystyle \mu =0}$ als Mittelwert der Cauchy-Verteilung und dem Streuparameter ${\displaystyle s>0}$. Da der Erwartungswert und die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existieren, darf man ${\displaystyle \mu }$ nicht als Erwartungswert und ${\displaystyle s}$ nicht als Standardabweichung bezeichnen. Dennoch sind ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle s}$ Verteilungsparameter, die analog zur Normalverteilung die Dichtefunktion charakterisieren.

Im Beispiel wird gezeigt, dass ein Teilintegral über ${\displaystyle [1,+\infty )}$ nicht existiert, indem man eine divergente Minorante angibt. $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{0}^{+\infty }x\cdot {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx&\geq &\int _{0}^{+\infty }{\frac {x}{x^{2}+x^{2}}}\,dx\\&=&{\frac {1}{2}}\cdot \int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\,dx\\\\&\geq &{\frac {1}{2}}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k}}=+\infty \end{array}}}$$

• Begründen Sie die Teilschritte der Abschätzung des Integral nach unten gegen die harmonische Reihe!
• Führen Sie die obige Beweisidee für die oben angegeben Definition aus und zeigen Sie, dass die Teilintegrale der Zerlegung jeweils gegen ${\displaystyle -\infty }$ durch Abschätzung nach oben und ${\displaystyle +\infty }$ durch Abschätzung nach unten konvergieren und leiten Sie daraus ab, dass die Cauchy-Verteilung keinen existierenden Erwartungswert und keine existierende Varianz besitzt.

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi \cdot s}}\cdot {\frac {1}{1+\left({\frac {x-t}{s}}\right)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty }$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {s}{s^{2}+(x-t)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty }$

mit ${\displaystyle s>0}$ und Lageparameter ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ besitzt.

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan \left({\frac {x-t}{s}}\right)}$.

und damit stetig auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Mit dem Zentrum ${\displaystyle t=0}$ und dem Breitenparameter ${\displaystyle s=1}$ ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung (oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad) mit

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$

als Wahrscheinlichkeitsdichte und

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan(x)}$

als Verteilungsfunktion.

Ist ${\displaystyle X}$ Cauchy-verteilt mit den Parametern ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle t}$, dann ist ${\displaystyle {\frac {X-t}{s}}}$ standard-Cauchy-verteilt.

Betrachten Sie eine mehrdimensionale Dichtefunktion der Form:

${\displaystyle f_{s}(x,y):={\frac {1}{1+{\frac {x^{2}+y^{2}}{s}}}}}$

• Kann man durch Nutzung von Polarkoordinaten das Volumen unter dem Graphen bestimmen?
• Geben Sie in Abhängigkeit von der vorherigen Berechnung nach Möglichkeit die Wahrscheinlichkeitsdichte an?
• Berechnen Sie die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{s}(x,y)}$ z.B. in Octave numerisch mit der Trapez-Methode!

Die Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten lauten:

${\displaystyle x=r\cos \varphi }$

${\displaystyle y=r\sin \varphi }$

Die Funktionaldeterminante lautet also:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}&=&\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{pmatrix}}\\&=&\det {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{pmatrix}}\\&=&r\cdot (\cos \varphi )^{2}+r\cdot (\sin \varphi )^{2}=r\\\end{array}}}$

Folglich ergibt sich für das Flächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} A}$:

${\displaystyle \mathrm {d} A=\left|\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi =r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi .}$

Sei ${\displaystyle K_{r_{0},r_{1}}}$ die Kreisring um ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$ mit Radius ${\displaystyle r_{o}>0}$.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{K_{r_{0},r_{1}}}f_{s}(x,y)\,dx\,dy&=&\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{0}}^{r_{1}}f_{s}(r\cdot \cos(\varphi ),r\cdot \sin(\varphi ))\cdot r\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {1}{1+{\frac {(r\cdot \cos(\varphi ))^{2}+(r\cdot \sin(\varphi ))^{2}}{s}}}}\cdot r\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {r}{1+{\frac {r^{2}}{s}}}}\,\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }\left[{{s^{2}\,\log \left({{r^{2}} \over {1+s^{2}}}\right)} \over {2}}\right]_{r_{0}}^{r_{1}}\,\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }{\frac {s^{2}}{2}}\cdot \left({\,\log \left({{r_{1}^{2}} \over {1+s^{2}}}\right)}-{\log \left({{r_{1}^{2}} \over {1+s^{2}}}\right)}\right)\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }{\frac {s^{2}}{2}}\cdot \log \left({{r_{1}^{2}} \over {r_{0}^{2}}}\right)\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }{\frac {s^{2}}{2}}\cdot \log \left(\left({{r_{1}} \over {r_{0}}}\right)^{2}\right)\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }s^{2}\cdot \log \left({{r_{1}} \over {r_{0}}}\right)\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi =2\pi s^{2}\cdot \log \left({{r_{1}} \over {r_{0}}}\right)\end{array}}}$

Die Cauchy-Verteilung ist eine Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, sie sind unbestimmt. Dementsprechend besitzt sie auch keine endlichen Momente und keine momenterzeugende Funktion.

Die Cauchy-Verteilung besitzt den Median bei ${\displaystyle t}$, den Modus ebenfalls bei ${\displaystyle t}$, und den Quartilsabstand ${\displaystyle 2s}$.

Die Cauchy-Verteilung ist symmetrisch zum Parameter ${\displaystyle t}$.

Die Entropie beträgt ${\displaystyle \log(4\,\pi \,s)}$.

Die charakteristische Funktion der Cauchy-Verteilung ist ${\displaystyle y\mapsto \exp(ity-s|y|)}$.

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der arithmetische Mittelwert

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}}{n}}}$

aus ${\displaystyle n}$ standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt. Ferner gilt auch der zentrale Grenzwertsatz nicht.

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, das heißt, die Faltung einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite ${\displaystyle \Gamma _{a}}$ und einem Maximum bei ${\displaystyle t_{a}}$ mit einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite ${\displaystyle \Gamma _{b}}$ und einem Maximum bei ${\displaystyle t_{b}}$ ergibt wieder eine Lorentz-Kurve mit der Halbwertsbreite ${\displaystyle \Gamma _{c}=\Gamma _{a}+\Gamma _{b}}$ und einem Maximum bei ${\displaystyle t_{c}=t_{a}+t_{b}}$. Somit bildet die Cauchy-Verteilung eine Faltungshalbgruppe.

Ist ${\displaystyle U}$ auf dem Intervall ${\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})}$ stetig gleichverteilt, dann ist ${\displaystyle X=\tan(U)}$ standard-Cauchy-verteilt. Entsprechend ist ${\displaystyle Y=sX+t}$ Cauchy-verteilt mit den Parametern ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle t}$. Dies motiviert das Beispiel der Pendel-Auslenkung.

Der Quotient ${\displaystyle Z={\tfrac {X}{Y}}}$ aus zwei unabhängigen, zentrierten normalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X,Y}$ ist Cauchy-verteilt. Sind ${\displaystyle X,Y}$ standardnormalverteilt, dann ist ${\displaystyle Z}$ standard-Cauchy-verteilt.

Die Standard-Cauchy-Verteilung ist der Spezialfall der studentschen t-Verteilung ${\displaystyle {\mathcal {t}}_{n}}$ mit einem Freiheitsgrad ${\displaystyle n:=1}$.

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile Verteilung mit dem Exponentenparameter ${\displaystyle \alpha =1}$.

Bei der Cauchy-Verteilung als Vertreter der Heavy-tailed-Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1 % größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ mindestens 2,326, so beträgt bei einer standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze 31,82. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

Zur Erzeugung Cauchy-verteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an. Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)}$ lautet hierbei ${\displaystyle F^{-1}(y)=-\cot(\pi y)}$ (siehe Kotangens). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen ${\displaystyle u_{i}}$ lässt sich daher durch ${\displaystyle x_{i}:=-\cot(\pi u_{i})}$, oder wegen der Symmetrie auch durch ${\displaystyle x_{i}:=\cot(\pi u_{i})}$, eine Folge standard-Cauchy-verteilter Zufallszahlen berechnen.

1. ↑ Joshua Goings: Maximum Entropy Distributions. Cauchy Distribution. 21. Juni 2021, abgerufen am 13. August 2022 (englisch). 

• William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 1. 3. Auflage. Wiley & Sons - lSBN: 0471257087, 1968. 
• William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 2. 2. Auflage. John Wiley & Sons - lSBN: 0471257095, 1991. 

 Commons: Cauchy-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Universität Konstanz – Interaktive Animation

• Octave-Tutorial
• Trapez-Methode für numerische Berechnung der mehrdimensionalen Verteilungsfunktion,
• Normalverteilung
• Versiera der Agnesi
• Kurs:Stochastik

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• Cauchy-Verteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Verteilung
• Datum: 6.1.2024
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