Cayley-Hamilton/3x3-Matrix/2/Überprüfe/Aufgabe/Lösung
<
Cayley-Hamilton/3x3-Matrix/2/Überprüfe/Aufgabe
Das
charakteristische Polynom
von
(
3
0
−
2
−
6
4
5
−
1
3
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}}
ist
det
(
(
X
0
0
0
X
0
0
0
X
)
−
(
3
0
−
2
−
6
4
5
−
1
3
4
)
)
=
det
(
X
−
3
0
2
6
X
−
4
−
5
1
−
3
X
−
4
)
=
(
X
−
3
)
(
(
X
−
4
)
2
−
15
)
+
2
(
−
18
−
X
+
4
)
=
X
3
−
11
X
2
+
25
X
−
3
−
2
X
−
28
=
X
3
−
11
X
2
+
23
X
−
31.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0\\0&X&0\\0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}\right)&=\det {\begin{pmatrix}X-3&0&2\\6&X-4&-5\\1&-3&X-4\end{pmatrix}}\\&={\left(X-3\right)}{\left({\left(X-4\right)}^{2}-15\right)}+2{\left(-18-X+4\right)}\\&=X^{3}-11X^{2}+25X-3-2X-28\\&=X^{3}-11X^{2}+23X-31.\end{aligned}}}
Es ist
(
3
0
−
2
−
6
4
5
−
1
3
4
)
2
=
(
3
0
−
2
−
6
4
5
−
1
3
4
)
(
3
0
−
2
−
6
4
5
−
1
3
4
)
=
(
11
−
6
−
14
−
47
31
52
−
25
24
33
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11&-6&-14\\-47&31&52\\-25&24&33\end{pmatrix}}\,}
und
(
3
0
−
2
−
6
4
5
−
1
3
4
)
3
=
(
3
0
−
2
−
6
4
5
−
1
3
4
)
(
11
−
6
−
14
−
47
31
52
−
25
24
33
)
=
(
83
−
66
−
108
−
379
280
457
−
252
195
302
)
.
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11&-6&-14\\-47&31&52\\-25&24&33\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}83&-66&-108\\-379&280&457\\-252&195&302\end{pmatrix}}\,.}
Es ist in der Tat
(
83
−
66
−
108
−
379
280
457
−
252
195
302
)
−
11
(
11
−
6
−
14
−
47
31
52
−
25
24
33
)
+
23
(
3
0
−
2
−
6
4
5
−
1
3
4
)
−
31
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}83&-66&-108\\-379&280&457\\-252&195&302\end{pmatrix}}-11{\begin{pmatrix}11&-6&-14\\-47&31&52\\-25&24&33\end{pmatrix}}+23{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}-31{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.}
Zur gelösten Aufgabe
