Cayley Hamilton/2x2 Matrix/Aufgabe/Lösung

a) Der Satz von Cayley-Hamilton besagt Folgendes. Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix mit dem charakteristischen Polynom ${\displaystyle {}\chi _{M}}$. Wenn man dann ${\displaystyle {}M}$ in ${\displaystyle {}\chi _{M}}$ einsetzt, so ergibt sich

${\displaystyle {}\chi _{M}\,(M)=0\,.}$

b) Das charakteristische Polynom der Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}\,}$

ist

${\displaystyle {}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}x-2&-1\\-3&x+4\end{pmatrix}}=(x-2)(x+4)-3=x^{2}+2x-11\,.}$

Um darin ${\displaystyle {}M}$ einzusetzen berechnen wir zuerst

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&-2\\-6&19\end{pmatrix}}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}\chi _{M}={\begin{pmatrix}7&-2\\-6&19\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}-11{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7+4-11&-2+2\\-6+6&19-8-11\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.}$

c) Wir setzen die ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrix als

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

an. Das charakteristische Polynom davon ist

${\displaystyle {}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}}=(x-a)(x-d)-bc=x^{2}-(a+d)x+ad-bc\,.}$

Das Quadrat von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+cd&cb+d^{2}\end{pmatrix}}\,.}$

Durch Einsetzen ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,{\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+cd&cb+d^{2}\end{pmatrix}}-(a+d){\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}+(ad-bc){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+cd&cb+d^{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-(a+d)a&-(a+d)b\\-(a+d)c&-(a+d)d\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc-(a+d)a+ad-bc&ab+bd-(a+d)b\\ca+cd-(a+d)c&cb+d^{2}-(a+d)d+ad-bc\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$