Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt/Beweis

Es sei

${\displaystyle {}a_{1}\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0\,,}$

wobei die ${\displaystyle {}\chi _{i}}$ verschiedene Charaktere seien und alle ${\displaystyle {}a_{i}\in K}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschieden seien. Darüber hinaus sei ${\displaystyle {}n}$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen ${\displaystyle {}\chi (e_{G})=1}$ ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest ${\displaystyle {}n\geq 2}$. Wegen ${\displaystyle {}\chi _{1}\neq \chi _{2}}$ gibt es auch ein ${\displaystyle {}g\in G}$ mit ${\displaystyle {}\chi _{1}(g)\neq \chi _{2}(g)}$. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von ${\displaystyle {}G}$ nach ${\displaystyle {}K}$)

${\displaystyle {}a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}=0\,.}$

Für ein beliebiges ${\displaystyle {}h\in G}$ ist nämlich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n})(h)&=a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}(h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}(h)\\&=a_{1}\chi _{1}(g\cdot h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g\cdot h)\\&=0\end{aligned}}}$

wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom ${\displaystyle {}\chi _{1}(g)}$-fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man ${\displaystyle {}\chi _{1}}$ elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen ${\displaystyle {}a_{2}\neq 0}$ und der Wahl von ${\displaystyle {}g}$) lineare Relation zwischen ${\displaystyle {}\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$ im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von ${\displaystyle {}n}$.