Charaktergruppe/Untergruppe/Duale Abbildung/Kern und Surjektivitätskriterium/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}E\subseteq D}$ eine Untergruppe. Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \psi \colon D^{\vee }\longrightarrow E^{\vee },\,\chi \longmapsto \chi {|}_{E},}$

gleich ${\displaystyle {}E^{\perp }}$ ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei ${\displaystyle {}m}$ der Exponent von ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}\psi }$ surjektiv ist.