Chevalley-Shephard-Todd/Spiegelungsgruppe/Polynomring/Fakt/Beweis

Wir betrachten das Ideal ${\displaystyle {}I_{G}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, das von allen homogenen invarianten Polynomen positiven Grades erzeugt wird. Es sei ${\displaystyle {}I_{G}=(f_{1},\ldots ,f_{m})}$ ein homogenes minimales Erzeugendensystem für dieses Ideal. Aufgrund von Fakt bilden diese ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{m}}$ ein Algebraerzeugendensystem von ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}}$. Wir zeigen, dass die ${\displaystyle {}f_{i}}$ algebraisch unabhängig sind und nehmen an, dass ${\displaystyle {}g(f_{1},\ldots ,f_{m})=0}$ ist mit ${\displaystyle {}g\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]}$, ${\displaystyle {}g\neq 0}$, ist. Es sei dabei ${\displaystyle {}g}$ von minimalem Grad.

Das Monom ${\displaystyle {}Y^{\nu }}$ aus ${\displaystyle {}g}$ wird nach Einsetzen zu ${\displaystyle {}f^{\nu }}$, was ein homogenes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}\sum _{i}\nu _{i}\operatorname {grad} \,(f_{i})}$ ist. Wir können daher annehmen, dass alle Monome, die in ${\displaystyle {}g(f_{1},\ldots ,f_{m})}$ vorkommen, den gemeinsamen Grad ${\displaystyle {}d}$ haben (die Monome, die zu einem anderen Grad führen, werden einfach weggelassen).

Wir betrachten

${\displaystyle {}g_{i}:={\frac {\partial g}{\partial y_{i}}}(f_{1},\ldots ,f_{m})\,,}$

die zum Invariantenring ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}}$ gehören. Die ${\displaystyle {}g_{i}}$ sind ${\displaystyle {}0}$ oder sie haben den Grad ${\displaystyle {}d-\operatorname {grad} \,(f_{i})}$. Da ${\displaystyle {}g(y_{1},\ldots ,y_{m})}$ nicht konstant ist, ist

${\displaystyle {}{\frac {\partial g}{\partial y_{i}}}{\left(y_{1},\ldots ,y_{m}\right)}\neq 0\,}$

für zumindest ein ${\displaystyle {}i}$, da wir Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ voraussetzen. Dann muss auch ${\displaystyle {}g_{i}\neq 0}$ für ein ${\displaystyle {}i}$ sein, da ${\displaystyle {}g}$ nach Annahme minimalen Grad besitzt.

Wir betrachten das Ideal ${\displaystyle {}J=(g_{1},\ldots ,g_{m})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, und sei nach Umnummerierung ${\displaystyle {}k}$ (${\displaystyle {}\geq 1}$) so gewählt, dass

${\displaystyle {}J=(g_{1},\ldots ,g_{k})\,}$

ist, aber keine echte Teilmenge davon dieses Ideal erzeugt. Für ${\displaystyle {}i>k}$ schreiben wir

${\displaystyle {}g_{i}=\sum _{j=1}^{k}h_{ij}g_{j}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}h_{ij}=0}$ ist oder aber homogen vom Grad ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(g_{i})-\operatorname {grad} \,(g_{j})=\operatorname {grad} \,(f_{j})-\operatorname {grad} \,(f_{i})}$. Es folgt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&={\frac {\partial }{\partial x_{s}}}{\left(g{\left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}\\&=\sum _{i=1}^{k}g_{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}+\sum _{i=k+1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{k}h_{ij}g_{j}\right)}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}\\&=\sum _{i=1}^{k}g_{i}{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}+\sum _{j=k+1}^{m}{\left(h_{ji}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{s}}}\right)}\right)}.\end{aligned}}}$

Wegen ${\displaystyle {}g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{k})}$ gehört für jedes ${\displaystyle {}s}$ das homogene Element

${\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{s}}}+\sum _{j=k+1}^{m}h_{j1}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{s}}}}$

nach Fakt zu ${\displaystyle {}I_{G}}$. Daraus ergibt sich durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}x_{s}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{s=1}^{n}x_{s}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{s}}}+\sum _{j=k+1}^{m}h_{j1}\sum _{s=1}^{n}x_{s}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{s}}}&=(\operatorname {grad} \,(f_{1}))f_{1}+\sum _{j=k+1}^{m}h_{j1}{\left(\operatorname {grad} \,(f_{j})\right)}f_{j}\\&\in (x_{1},\ldots ,x_{n})I_{G}\\&\subseteq {\left(x_{1}f_{1},\ldots ,x_{n}f_{1}\right)}+{\left(f_{2},\ldots ,f_{m}\right)}.\end{aligned}}}$

Die hinteren Summanden in diesem Polynom gehören zu ${\displaystyle {}(f_{2},\ldots ,f_{m})}$, daher ist

${\displaystyle {}f_{1}\in {\left(x_{1}f_{1},\ldots ,x_{n}f_{1}\right)}+{\left(f_{2},\ldots ,f_{m}\right)}\,.}$

Aus Gradgründen ist ${\displaystyle {}f_{1}\in (f_{2},\ldots ,f_{m})}$, was ein Widerspruch zur Minimalität des Idealerzeugendensystems von ${\displaystyle {}I_{G}}$ ist.