Chinesischer Restsatz/RX modulo X^3-7X^2+3X-21/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten Vielfache von ${\displaystyle {}X^{2}+3}$, da diese in der zweiten Komponente auf ${\displaystyle {}0}$ gehen. Das Polynom ${\displaystyle {}X^{2}+3}$ wird auf

${\displaystyle (52,0)}$

abgebildet, daher ist

${\displaystyle {\frac {X^{2}+3}{52}}}$

das Urbild des ersten Basisvektors.

b) Wir betrachten Vielfache von ${\displaystyle {}X-7}$, da diese in der ersten Komponente auf ${\displaystyle {}0}$ gehen. Das Polynom ${\displaystyle {}X-7}$ geht auf

${\displaystyle \left(0,\,X-7\right)}$

und das Polynom ${\displaystyle {}X(X-7)=X^{2}-7X}$ geht auf

${\displaystyle {}\left(0,\,X^{2}-7X\right)=\left(0,\,-7X-3\right)\,.}$

Somit geht ${\displaystyle {}7(X-7)+X(X-7)}$ auf

${\displaystyle \left(0,\,-52\right)}$

und somit geht

${\displaystyle {}-{\frac {1}{52}}{\left(7(X-7)+X(X-7)\right)}=-{\frac {1}{52}}X^{2}+{\frac {49}{52}}\,.}$